The good student, berikut ini Calon Guru belajar matematika dasar tentang Cara Perkalian Dua Matriks dan Pembahasan Soal Latihan.Cara perkalian matriks berbeda dengan penjumlahan atau pengurangan matriks, karena pada perkalian matriks ada syarat khusus sehingga dua buah matriks dapat dikalikan. Seperti apa dua buah matriks yang dapat dikalikan mari kita simak dari ilustrasi berikut ini.
PERKALIAN DUA MATRIKS
Hasil pertandingan $5$ tim liga Inggris pada tahun $2000$ ditunjukkan pada tabel berikut ini:
| Klub | Menang | Seri | Kalah |
| Man United | $28$ | $7$ | $3$ |
| Arsenal | $22$ | $7$ | $9$ |
| Leeds United | $21$ | $6$ | $11$ |
| Liverpool | $19$ | $10$ | $9$ |
| Chelsea | $18$ | $11$ | $9$ |
Untuk setiap hasil pertandingan diberi nilai seperti berikut ini:
| Hasil | Nilai |
| Menang | $3$ |
| Seri | $1$ |
| Kalah | $0$ |
Dari kedua tabel di atas, nilai total setiap tim adalah:
| Klub | Perhitungan | Nilai Akhir |
| Man United | $28 \times 3 + 7 \times 1 + 3 \times 0$ | $91$ |
| Arsenal | $22 \times 3+ 7 \times 1 + 9 \times 0$ | $73$ |
| Leeds United | $21 \times 3+ 6 \times 1+ 11 \times 0$ | $69$ |
| Liverpool | $19 \times 3+ 10 \times 1+9 \times 0$ | $67$ |
| Chelsea | $18 \times 3+11\times 1+ 9 \times 0$ | $65$ |
Cara perhitungan pada tabel di atas yang digunakan pada perkalian dua matriks. Jika perhitungan di atas ditulis dengan menggunakan matriks bentuknya adalah seperti berikut ini:
$\begin{pmatrix} 28 & 7 & 3 \\ 22 & 7 & 9 \\ 21 & 6 & 11 \\ 19 & 10 & 9 \\ 18 & 11 & 9 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 28 \times 3 + 7 \times 1 + 3 \times 0 \\ 22 \times 3+ 7 \times 1 + 9 \times 0 \\ 21 \times 3+ 6 \times 1+ 11 \times 0 \\ 19 \times 3+ 10 \times 1+9 \times 0 \\ 18 \times 3+11\times 1+ 9 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 91 \\ 73 \\ 69 \\ 67 \\ 65 \end{pmatrix} $
Jika kita perhatikan perkalian dua matriks di atas, matriks di sebelah kiri $\begin{pmatrix}
28 & 7 & 3 \\
22 & 7 & 9 \\
21 & 6 & 11 \\
19 & 10 & 9 \\
18 & 11 & 9
\end{pmatrix}$ adalah matriks $5 \times 3$ dan
matriks di sebelah kanan $\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}$ adalah matriks $3 \times 1$, apabila kita tuliskan perkalian matriks hanya ordo saja dapat kita tuliskan $\text{M}_{5 \times 3} \times \text{M}_{3 \times 1}=\text{M}_{5 \times 1}$.
Bila kita tuliskan secara umum perkalian $\text{M}_{5 \times 3} \times \text{M}_{3 \times 1}=\text{M}_{5 \times 1}$ menjadi $\text{M}_{m \times n} \times \text{M}_{n \times p}=\text{M}_{m \times p}$.
Dari perkalian $\text{M}_{m \times n} \times \text{M}_{n \times p}=\text{M}_{m \times p}$ kita peroleh syarat sebuah matriks dapat dikalikan yaitu kolom pada matriks sebelah kiri $\text{M}_{m \times n}$ yaitu $n$ harus sama dengan baris pada matriks sebelah kanan $\text{M}_{n \times p}$.
Misal untuk matriks $A_{2 \times 3}$, $B_{3 \times 3}$, $C_{2 \times 2}$, $D_{3 \times 4}$, dan $M_{m \times n}$, operasi perkalian matriks berikut yang dapat dilakukan dan yang tidak dapat dilakukan:
- $A_{2 \times 3} \times B_{3 \times 3}=M_{2 \times 3}$
- $B_{3 \times 3} \times A_{2 \times 3}$ (perkalian matriks tidak dapat lakukan)
- $A_{2 \times 3} \times C_{2 \times 2}$ (perkalian matriks tidak dapat lakukan)
- $B_{3 \times 3} \times D_{3 \times 4}=M_{3 \times 4}$
Misal $A=\begin{pmatrix}
-3 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
5 & 0
\end{pmatrix}$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
AB & = \begin{pmatrix}
-3 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
2 & 1\\
5 & 0
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(-3)(2)+(1)(5) & (-3)(1)+(1)(0) \\
(4)(2)+(2)(5) & (4)(1)+(2)(0) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
-6+5 & -3+0 \\
8+10 & 4+0 \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
-1 & -3 \\
18 & 4 \\
\end{pmatrix}
\end{align}$
SIFAT PERKALIAN MATRIKS
Misalkan matriks $A$, $B$, dan $C$ adalah suatu matriks yang dapat dijumlahkan atau dikalikan, serta $k$ adalah bilangan real maka dapat kita tuliskan:
- Sifat Komutatif tidak berlaku secara umum
$A \times B \neq B \times A$ - Sifat Asosiatif
$\left( A \times B \right) \times C =A \times \left( B \times C \right)$ - Sifat Distribusi kiri
$A \times \left( B + C \right) = \left( A \times B \right) + \left( A \times C \right)$ - Sifat Distribusi kanan
$\left( B + C \right) \times A = \left( B \times A \right) + \left( C \times A \right)$ - Identitas Perkalian
$I \times A = A \times I = A$
dimana $A$ dan $I$ berordo sama - Perpangkatan
$A^{2} = A \times A$
$A^{3} = A \times A \times A$ - Perkalian bilangan $k$ dengan sebuah matriks, misal:
$\begin{align}
kA & = k \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a k & b k \\ c k & d k
\end{pmatrix} \end{align}$
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN PERKALIAN MATRIKS
Soal-soal matriks yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks.
Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Cara Perkalian Dua Matriks atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Perkalian Dua Matriks
Hasil dari $\begin{pmatrix}
2 & -1\\ 3 & 0
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0
\end{pmatrix}$ adalah...$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
6 & 2 & -3 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
-7 & -1 & 4 \\ -6 & 0 & 6
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \\ 5 & -7 & 4
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
2 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 3
\end{pmatrix} \end{align}$
Show
$\begin{align}
& \begin{pmatrix}
2 & -1\\
3 & 0
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-2 & 0 & 2 \\
3 & 1 & 0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(2)(-2)+(-1)(3) & (2)(0)+(-1)(1) & (2)(2)+(-1)(0) \\
(3)(-2)+(0)(3) & (3)(0)+(0)(1) & (3)(2)+(0)(0)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-4-3 & 0-1 & 4+0 \\
-6+0 & 0+0 & 6+0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-7 & -1 & 4 \\
-6 & 0 & 6
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix}
-7 & -1 & 4 \\
-6 & 0 & 6
\end{pmatrix}$
2. Soal Latihan Perkalian Dua Matriks
Jika $A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
4 & 2 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ maka $A \times B =\cdots$$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
7 & -2 \\ 1 & -7 \\ \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
2 & 5 \\ -1 & 4 \\ \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
6 & 2 \\ -1 &3 \\ \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
5 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
4 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$
Show
$\begin{align}
A \times B &= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-2 & 0 & 3
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
4 & 2 \\
1 & 0 \\
3 & -1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(0)(4)+(1)(1)+(2)(3) & (0)(2)+(1)(0)+(2)(-1) \\
(-2)(4)+(0)(1)+(3)(3) & (-2)(2)+(0)(0)+(3)(-1)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0+1+6 & 0+0-2 \\
-8+0+9 & -4+0-3
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
7 & -2 \\
1 & -7
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
7 & -2 \\
1 & -7
\end{pmatrix}$
3. Soal Latihan Perkalian Dua Matriks
Jika $P=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dan $Q=\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ maka matriks hasil dari $P^{2}-PQ-QP+Q^{2} =\cdots$$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
2 & 10 \\ 9 & -8 \\ \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
9 & -16 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
-3 & -5 \\ 6 & 9 \\ \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
3 & 9 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
10 & -9 \\ -9 & 37 \end{pmatrix} \end{align}$
Show
$\begin{align}
& P^{2}-PQ-QP+Q^{2} \\
& = \left( P-Q \right)\left( P-Q \right) \\
& = \left( P-Q \right)^{2} \\
& = \left( \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -3
\end{pmatrix} \right)^{2} \\
& = \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
-1 & 6
\end{pmatrix}^{2} \\
& = \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
-1 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
-1 & 6
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(3)(3)+(-1)(-1) & (3)(-1)+(-1)(6) \\
(-1)(3)+(6)(-1) & (-1)(-1)+(6)(6) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
10 & -9 \\
-9 & 37
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\begin{align}
P^{2} & = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(2)(2)+(0)(1) & (2)(0)+(0)(3) \\
(1)(2)+(3)(1) & (1)(0)+(3)(3) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
4 & 0 \\
5 & 9
\end{pmatrix} \\
\hline
PQ & = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -3
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(2)(-1)+(0)(2) & (2)(1)+(0)(3) \\
(1)(-1)+(3)(2) & (1)(1)+(3)(-3) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
-2 & 2 \\
5 & -8
\end{pmatrix} \\
\hline
QP & = \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(-1)(2)+(1)(1) & (-1)(0)+(1)(3) \\
(2)(2)+(-3)(1) & (2)(0)+(-3)(3) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
-1 & 3 \\
1 & -9
\end{pmatrix} \\
\hline
Q^{2} & = \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -3
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(-1)(-1)+(1)(2) & (-1)(1)+(1)(-3) \\
(2)(-1)+(-3)(2) & (2)(1)+(-3)(-3) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
3 & -4 \\
-8 & 11
\end{pmatrix} \\
\hline
& P^{2}-PQ-QP+Q^{2} \\
& = \begin{pmatrix}
4 & 0 \\
5 & 9
\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}
-2 & 2 \\
5 & -8
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
-1 & 3 \\
1 & -9
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3 & -4 \\
-8 & 11
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
4+2+1+3 & 0-2-3-4 \\
5-5-1-8 & 9+8+9+11
\end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}
10 & -9 \\
-9 & 37
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix}
10 & -9 \\
-9 & 37
\end{pmatrix}$
4. Soal Latihan Perkalian Dua Matriks
Hasil dari $\begin{pmatrix}
12 & 24 \\ 48 & 36 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
16 & 32 \\ -24 & -16 \end{pmatrix} =\cdots$$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
54 & 108 \\ 72 & 320 \\ \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
-384 & 0 \\ -96 & 960 \\ \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
320 & 96 \\ 960 & 12 \\ \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
96 & 960 \\ 540 & 320 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
960 & 320 \\ 720 & 54 \end{pmatrix} \end{align}$
Show
$\begin{align}
&\begin{pmatrix}
12 & 24 \\
48 & 36
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
16 & 32 \\
-24 & -16
\end{pmatrix} \\
&= 12 \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
4 & 3
\end{pmatrix} \times 8 \cdot \begin{pmatrix}
2 & 4 \\
-3 & -2
\end{pmatrix} \\
&= 12 \cdot 8 \cdot \begin{pmatrix}
(1)(2)+(2)(-3) & (1)(4)+(2)(-2) \\
(4)(2)+(3)(-3) & (4)(4)+(3)(-2) \\
\end{pmatrix} \\
&= 96 \cdot \begin{pmatrix}
-4 & 0 \\
-1 & 10
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-384 & 0 \\
-96 & 960 \\
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
-384 & 0 \\
-96 & 960 \\
\end{pmatrix}$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Perkalian Dua Matriks dan Pembahasan Soal Latihan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
